Trigonométrie.

Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle.

Formules fondamentales.

Relation trigonométriques dans un triangle quelconque.

Valeurs des sinus, cosinus et tangentes des angles courrants.

Formules d'addition.

Relations entre les fonctions trigonométriques des angles compris entre 0 et pi/2.

Formules de l'angle double et moitié

Puissances des fonctions trigonométriques et linéarisations.

Sommes, différences et produits des fonctions trigonométriques.

Développements en séries entières.

Relations entres les fonctions trigonométriques inverses.

 

Fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle.

Sinus de A = sin A = a/c

Cosinus de A = cos A = b/c

Tangente de A = tan A = a/b

Cotangente de A = cotan A = b/a

 

 

Formules fondamentales :

sin²x + cos²x = 1

tan x = sin x/cos x

Fonctions trigonométriques dans un triangle quelconque.

c² = a² + b² - 2ab cos C

où s est le demi périmètre du triangle.

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Valeurs des sinus, cosinus et tangentes des angles courrants.

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Formules d'addition :

sin (x + y) = sin x.cos y + cos x.sin y

sin (x - y) = sin x.cos y - cos x.sin y

cos (x + y) = cos x.cos y - sin x.sin y

cos (x - y) = cos x.cos y + sin x.sin y

On passe facilement de la somme à la différence en sachant que :

sin (-x) = -sin (x)

cos (-x) = cos (x)

tan (-x) = -tan (x)

Ce qui est dû à la parité des fonctions trigonométriques. sinus et tangente sont impaires et cosinus est paire.

Relations entre les fonctions trigonométriques des angles compris entre 0 et pi/2

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Formules de l'angle double, moitié.

sin (2.x) = 2.sin (x).cos (x)

cos (2.x) = cos² (x) - sin² (x) = 1 - 2.sin² (x) = 2.cos² (x) - 1

Angle moitié :

Le second membre est négatif pour les angles x/2 compris entre p et 2p

 

Le second membre est négatif pour les angles x/2 compris entre p/2 et 3p/2

 

On retrouvre facilement la tangente de x/2 dès que l'on sait que :

Puissances des fonctions trigonométriques.

sin² (x) = 1/2 - (cos (2x))/2

cos² (x) = 1/2 + (cos (2x))/2

On retrouve facilement les autres puisances des fonctions trigonométriques en applicant les formules d'Euler :

et où i² = -1

On élève le deuxième membre à la puissance désirée, on développe à l'aide de la formule du binôme de Newton et on fait les regroupements pour obtenir des sommes de sinus et de cosinus.

Exemple :

On veut linéariser la puissance quatrième de sin x, on pose :

On sait que la puissance 4 de i est 1 et on utilise le binôme de Newton :

On regroupe les termes qui peuvent former des sinus ou des cosinus :

puis vient :

enfin on tire de ça, les cosinus :

Et voili et voilo ! Essayez avec la puissance 15ème de cos (x²-1) sans vous tromper, ça vous occupera pour une longue soirée d'hiver !!!

Sommes, différences et produits des fonctions trigonométriques.

sin (x) + sin (y) = 2.sin (x + y).cos(x - y)

sin (x) - sin (y) = 2.cos(x + y).sin (x - y)

cos (x) + cos (y) = 2.cos(x + y).cos (x - y)

cos (x) - cos (y) = 2.sin(x + y).sin (x - y)

sin (x).sin (y) = (cos (x - y) - cos(x + y))

cos (x).cos (y) = (cos (x - y) + cos(x + y))

sin (x).cos (y) = (sin (x - y) - sin(x + y))

Développements en séries entières.

pour tout x

pour tout x

pour |x| < p/2 et B_n, n ième nombre de Bernouilli.

Relation entre les fonctions circulaires inverses.

Arc sin x + Arc cos x = p/2
Arc tan x + Arc cotan x = p/2
Arc cos 1/x + Arc sin 1/x = p/2
Arc sin(-x) = - Arc sin x
Arc cos(-x) = p - Arc cos x
Arc tan(-x) = -Arc tan x